Deterministic Chaos in Nonlinear Circuits with Electric Arc
УДК 621.3.011.72:537.523.5:517.938:51-74
Sydorets V., Pentegov I.
Deterministic Chaos in Nonlinear Circuits with Electric Arc.. –
Kiev: IAW, 2013. – 272 p.
Hard cover, 165x235 mm. In Russian.
The monograph is devoted to presenting the results of research of fundamental properties of the electric arc as the nonlinear part of electrical circuits. The revealed regularities and mechanisms of deterministic chaos in these circuits, as well as scenarios of its development have been described. A special attention is paid to the original mathematical methods for investigation of nonlinear dynamical systems. All results have been illustrated.
The monograph is intended for a wide range of professionals in the fields of theoretical electrical engineering and nonlinear dynamic systems. It could be useful to scientists, students and postgraduate students.
ISBN 978-966-96309-0-2
Contents
...( ...Press to open/close contents)CONTENTS
INTRODUCTION... 7CHAPTER 1. MODELING OF DYNAMICS OF ELECTRIC ARC... 9
1.1. The generalized model of the dynamic electric arc... 10
1.2. Comparative analysis of models of dynamic electric arc... 13
1.3. General properties of static and dynamic current-voltage characteristics of an electric arc... 16
CHAPTER 2. SELF OSCILLATIONS IN NONLINEAR CIRCUITS WITH AN ELECTRIC ARC... 21
2.1. RC-circuits with an electric arc... 21
2.1.1. Equations describing the RC-circuits with an electric arc... 22
2.1.2. Qualitative analysis... 23
2.1.3. Hopf bifurcation in the RC-circuit with the arc... 27
2.1.4. Numerical analysis of the Hopf bifurcation and limit cycles... 29
2.2. Electrical circuits with the arc and the feedbacks... 32
2.2.1. Circuit with the electric arc and voltage feedback... 32
2.2.2. Circuit with the electric arc and current feedback... 34
2.3. RLC-circuit with the inertialless electric arc... 36
2.3.1. Equations describing the RLC-circuit with the inertialless electric arc... 36
2.3.2. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation and numerical analysis of limit cycles... 38
CHAPTER 3. PERIODIC AND CHAOTIC OSCILLATIONS IN NONLINEAR CIRCUITS WITH THE ELECTRIC ARC... 41
3.1. RLC-circuit with the arc connected in series with the reactor... 41
3.1.1. Equations describing the RLC-circuit with the arc connected in series with the reactor... 42
3.1.2. Qualitative analysis... 43
3.1.3. Hopf bifurcation... 67
3.1.4. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation... 72
3.1.5. Numerical analysis of the Hopf bifurcation and limit cycles... 75
3.2. RLC-circuits with the arc when the reactor is in series with a resistor... 80
3.2.1. Equations describing the RLC-circuits with the arc when the reactor is in series with a resistor... 80
3.2.2. Qualitative analysis... 81
3.2.3. Hopf bifurcation... 99
3.2.4. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation... 102
3.2.5. Numerical analysis of the Hopf bifurcation and limit cycles... 104
3.3. RLC-circuits with the arc when the reactor is in series with capacitor... 107
3.3.1. Equations describing the RLC-circuits with the arc when the reactor is in series with capacitor... 108
3.3.2. Qualitative analysis... 109
3.3.3. Hopf bifurcation... 113
3.3.4. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation... 116
3.3.5. Numerical analysis of the Hopf bifurcation and limit cycles... 117
3.4. RLC-circuits with the arc, which is in series with resistor... 121
3.4.1. Equations describing the RLC-circuits with the arc, which is in series with resistor... 121
3.4.2. Qualitative analysis... 123
3.4.3. Absence of Hopf bifurcation... 126
CHAPTER 4. PROPERTIES OF THE DETERMINISTIC CHAOS IN NONLINEAR CIRCUITS WITH THE ELECTRIC ARC... 128
4.1. The bifurcation diagrams of RLC-circuit with the arc and techniques of their construction... 128
4.1.1. Technique of construction of the bifurcation diagrams RLC-circuit with the arc... 129
4.1.2. The bifurcation diagrams of RLC-circuit with the arc... 131
4.1.3. Classification of the bifurcation diagrams... 139
4.1.4. Structure with the properties of softness and reversibility... 141
4.1.5. Structure with the properties of stiffness and irreversibility... 141
4.1.6. The structure with the properties stiffness and reversibility... 142
4.1.7. Isolated regions of the bifurcation diagrams... 143
4.1.8. Modification of structures... 143
4.1.9. Basic patterns on the bifurcation diagrams of RLC-circuit arc... 144
4.2. The folded structure of periodic solutions of RLC-circuits with arc... 149
4.2.1. The folded structure of periodic solutions of a single period... 149
4.2.2. The folded structure of periodic solutions of multiple periods... 150
4.2.3. Interaction of the folded structures of single and double periods... 153
4.3. Basic properties of the characteristic lines of bifurcation diagrams... 155
4.3.1. Comparison of bifurcation diagrams... 156
4.3.2. The characteristic lines... 158
4.3.3. Regularities of supercycles... 163
4.3.4. Periodicity window... 164
4.3.5. Nodes of mapping lines of extremum... 165
4.3.6. Regularities of the inverse bifurcations of period doubling... 167
4.3.7. Crises and bifurcation diagrams... 168
4.4. Deterministic chaos in switching electrical circuits... 169
4.4.1. Switching circuits with the arc, which is simulated by counter... 170
4.4.2. Switching circuits with the arc, which is simulated by a resistor... 174
4.5. Difference equation for a nonlinear circuit with the electric arc... 178
4.5.1. Comparative analysis of bifurcation diagrams... 178
4.5.2. Technique of numerical determination of the mapping function 179
4.5.3. Mapping functions for RLC-circuit with the arc... 179
4.6. Criteria of deterministic chaos... 184
4.6.1. Criterion 1: extreme sensitivity to the initial conditions... 184
4.6.2. Criterion 2: continuous noise-like frequency spectrum... 186
4.6.3. Criterion 3: positiveness of Lyapunov exponent... 187
4.6.4. Criterion 4: Smale horseshoe... 188
CHAPTER 5. MATHEMATICAL METHODS AND TECHNIQUES FOR INVESTIGATIONS OF NONLINEAR CIRCUITS WITH ELECTRIC ARC... 191
5.1. Eigenvalues problem... 191
5.1.1. The technique of construction of depending on the parameters of the eigenvalues without finding the roots of the polynomial... 192
5.1.2. The technique of finding the pure imaginary conditions of eigenvalues 194
5.1.3. The technique of finding the condition of multiplicity of eigenvalues 200
5.2. Features of the Hopf bifurcation in nonlinear circuits with electric arc 206
5.2.1. Hopf bifurcation - General... 206
5.2.2. Modernization of the algorithm for calculating the Lyapunov exponent (Floquet index)... 209
5.2.3. Differentiation of eigenvalue by the parameter... 210
5.3. Multiple shooting method for investigating of bifurcations of dynamical systems... 211
5.3.1. Formulation of the problem for the shooting method... 211
5.3.2. Multiple shooting method and its modification... 215
5.4. Interval dimension of point sets of Poincare sections... 219
5.4.1. Definition of interval dimension... 219
5.4.2. Analytical methods for calculating the interval dimension of point sets... 222
5.4.3. Interval dimension of Poincare section of the strange attractor of RLC-circuit with the arc... 222
APPENDIX A. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation in the RC-circuit with the arc... 225
APPENDIX B. Nonlinear analysis of the Hopf bifurcation in the RLC-circuit with the arc... 228
APPENDIX C. Testing of interval dimension of point sets of Poincare sections... 232
APPENDIX D. Gallery of bifurcation diagrams for the circuit with the electric arc... 242
CONCLUSION... 263
REFERENCES... 264
Introduction (in Russian)
...( ...Press to open/close introduction)
Электрическая дуга является многофункциональным инструментом различных промышленных технологических процессов. Среди них и классические технологические процессы электродуговой сварки и выплавки стали,
и новейшие, основы которых только закладываются, например, гибридная
лазерно-дуговая сварка. Это обуславливает актуальность исследований как
самой электрической дуги, так и электрических цепей, в которые она входит. Особое внимание заслуживает устойчивость системы «электрическая
дуга–источник питания», поскольку от нее зависит стабильность технологического процесса и качество изделий. Таким образом, исследование электрических цепей с дугой является важной научно-технической проблемой
теоретической электротехники.
Первый электрический генератор автоколебаний, изобретенный У. Дудделом (William DuBois Duddell), был дуговым. Электрическая дуга в его составе даже получила собственное название «Singing Arc» (1899), т.к. частота колебаний находилась в звуковом диапазоне. Уже тогда исследователи пытались качественно объяснить этот эффект нелинейностью вольтамперной характеристики дуги. В. Поульсен (Valdemar Poulsen) смог увеличить частоту колебаний до радиодиапазона и в 1902 году запатентовал дуговой радиопередатчик (Poulsen arc radio transmitter) – первый передатчик, который мог генерировать непрерывные колебания. Дуговой радиопередатчик Поульсена широко использовался во всем мире вплоть до двадцатых годов. Теоретические исследования А.А. Андронова дали понимание проблемы, но отсутствие в то время мощных математических методов для исследования нелинейных динамических систем, в том числе и численных, не позволили ответить на все вопросы. К сожалению, в связи со сворачиванием производства дуговых генераторов при появлении и стремительном развитии ламповых, проблема осталась нерешенной.
Исследования сварочной дуги показали, что колебательные и импульсные режимы работы дают значительные технологические преимущества. Интерес к колебаниям тока в электрических цепях с дугой возродился. Получение колебательных режимов с помощью самой электрической дуги без применения силовых электронных ключей открывает большие перспективы. Надеемся, что эта монография станет научной основой новых дуговых технологий.
За последние несколько десятилетий были достигнуты значительные успехи и получены фундаментальные знания, которые связаны с детерминированным хаосом. Это явление наблюдается только в нелинейных динамических системах независимо от их происхождения: механического, гидродинамического, физического, химического, биологического, экологического, экономического. Среди электротехнических и радиотехнических нелинейных цепей, где был выявлен детерминированный хаос, необходимо отметить электрические цепи с туннельным диодом, которые детально изучались учеными школы А.А. Андронова, генератор с инерционной обратной связью, исследованный В.С. Анищенко, цепи Чуа, неавтономные цепи с варикапным диодом, схемы ключевых преобразователей, которые были предметом исследования В.Я. Жуйкова и И.Е. Коротеева. Электрические цепи с дугой в этом направлении не исследовались, хотя нелинейность и инерционность – это те свойства электрической дуги, которыми обладают упомянутые выше электрические цепи.
Моделирование электрических цепей – один из эффективных и результативных способов исследования. Тем более, что с помощью моделирования нелинейных динамических систем получены основополагающие результаты в области детерминированного хаоса. Авторами в свое время была разработана обобщенная математическая модель динамической дуги, которая учитывает как нелинейность вольтамперной характеристики электрической дуги, так и тепловую инерционность, связанную с процессами нагрева, диссоциации и ионизации плазмы разряда. Исследования нелинейных электрических цепей требуют разработки специальных аналитических и численных методов. Тем более, что получаемые с их помощью результаты имеют междисциплинарный характер и могут быть использованы при исследовании динамических систем иной природы.
В этой монографии изложены результаты исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей, описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития, а также математические методы исследования нелинейных динамических систем. Сделана попытка продемонстрировать, что такие абстрактные математические понятия, как странный аттрактор, бифуркация, фрактал, могут найти конкретное приложение в задачах теоретической электротехники.
Выражаем благодарность академику НАН Украины И. В. Кривцуну за поддержку этих исследований и канд. физ.-мат. наук А.Т. Зельниченко за помощь в издании этой монографии.
Первый электрический генератор автоколебаний, изобретенный У. Дудделом (William DuBois Duddell), был дуговым. Электрическая дуга в его составе даже получила собственное название «Singing Arc» (1899), т.к. частота колебаний находилась в звуковом диапазоне. Уже тогда исследователи пытались качественно объяснить этот эффект нелинейностью вольтамперной характеристики дуги. В. Поульсен (Valdemar Poulsen) смог увеличить частоту колебаний до радиодиапазона и в 1902 году запатентовал дуговой радиопередатчик (Poulsen arc radio transmitter) – первый передатчик, который мог генерировать непрерывные колебания. Дуговой радиопередатчик Поульсена широко использовался во всем мире вплоть до двадцатых годов. Теоретические исследования А.А. Андронова дали понимание проблемы, но отсутствие в то время мощных математических методов для исследования нелинейных динамических систем, в том числе и численных, не позволили ответить на все вопросы. К сожалению, в связи со сворачиванием производства дуговых генераторов при появлении и стремительном развитии ламповых, проблема осталась нерешенной.
Исследования сварочной дуги показали, что колебательные и импульсные режимы работы дают значительные технологические преимущества. Интерес к колебаниям тока в электрических цепях с дугой возродился. Получение колебательных режимов с помощью самой электрической дуги без применения силовых электронных ключей открывает большие перспективы. Надеемся, что эта монография станет научной основой новых дуговых технологий.
За последние несколько десятилетий были достигнуты значительные успехи и получены фундаментальные знания, которые связаны с детерминированным хаосом. Это явление наблюдается только в нелинейных динамических системах независимо от их происхождения: механического, гидродинамического, физического, химического, биологического, экологического, экономического. Среди электротехнических и радиотехнических нелинейных цепей, где был выявлен детерминированный хаос, необходимо отметить электрические цепи с туннельным диодом, которые детально изучались учеными школы А.А. Андронова, генератор с инерционной обратной связью, исследованный В.С. Анищенко, цепи Чуа, неавтономные цепи с варикапным диодом, схемы ключевых преобразователей, которые были предметом исследования В.Я. Жуйкова и И.Е. Коротеева. Электрические цепи с дугой в этом направлении не исследовались, хотя нелинейность и инерционность – это те свойства электрической дуги, которыми обладают упомянутые выше электрические цепи.
Моделирование электрических цепей – один из эффективных и результативных способов исследования. Тем более, что с помощью моделирования нелинейных динамических систем получены основополагающие результаты в области детерминированного хаоса. Авторами в свое время была разработана обобщенная математическая модель динамической дуги, которая учитывает как нелинейность вольтамперной характеристики электрической дуги, так и тепловую инерционность, связанную с процессами нагрева, диссоциации и ионизации плазмы разряда. Исследования нелинейных электрических цепей требуют разработки специальных аналитических и численных методов. Тем более, что получаемые с их помощью результаты имеют междисциплинарный характер и могут быть использованы при исследовании динамических систем иной природы.
В этой монографии изложены результаты исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей, описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития, а также математические методы исследования нелинейных динамических систем. Сделана попытка продемонстрировать, что такие абстрактные математические понятия, как странный аттрактор, бифуркация, фрактал, могут найти конкретное приложение в задачах теоретической электротехники.
Выражаем благодарность академику НАН Украины И. В. Кривцуну за поддержку этих исследований и канд. физ.-мат. наук А.Т. Зельниченко за помощь в издании этой монографии.