Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой
Сидорец В. Н., Пентегов И. В.
Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой. –
Киев: Международная ассоциация «Сварка», 2013. – 272 с.
Твердый переплет, 165x235 мм.
Монография посвящена изложению результатов исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей. Описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития. Особое внимание уделено оригинальным математическим методам исследования нелинейных динамических систем. Все полученные результаты проиллюстрированны.
Монография рассчитана на широкий круг специалистов в областях теоретической электротехники и нелинейных динамических систем. Она может быть полезна ученым, аспирантам и студентам.
ISBN 978-966-96309-0-2
Содержание
( Нажмите, чтобы просмотреть/скрыть содержание)
Введение....................................................................................................................7
Раздел 1. Моделирование динамики электрической дуги...............................9
1.1. Обобщенная модель динамической электрической дуги.............................10
1.2. Сравнительный анализ моделей динамической электрической дуги.........13
1.3. Общие свойства статических и динамических ВАХ электрической дуги.......16
Выводы.....................................................................................................................20
Раздел 2. Автоколебания в нелинейных цепях с электрической дугой......21
2.1. RC-цепи с электрической дугой.....................................................................21
2.1.1. Уравнения RC-цепей с электрической дугой.....................................22
2.1.2. Качественный анализ...........................................................................23
2.1.3. Бифуркация Хопфа в RC-цепи с дугой...............................................27
2.1.4. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........29
2.2. Электрические цепи с дугой и обратными связями.....................................32
2.2.1. Цепь с электрической дугой и обратной связью по напряжению....32
2.2.2. Цепь с электрической дугой и обратной связью по току..................34
2.3. RLC-цепь с безынерционной электрической дугой......................................36
2.3.1. Уравнения RLC-цепи с безынерционной электрической дугой.......36
2.3.2. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа и численный анализ предельных циклов.................................................................38
Выводы.....................................................................................................................39
Раздел 3. Периодические и хаотические колебания в нелинейных цепях с электрической дугой..........................................................................................41
3.1. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором...................41
3.1.1. Уравнения RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором.......................................42
3.1.2. Качественный анализ...........................................................................43
3.1.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................67
3.1.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа............................................72
3.1.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........75
3.2. RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора......................................................................................80
3.2.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора...........................................................................80
3.2.2. Качественный анализ...........................................................................81
3.2.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................99
3.2.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................102
3.2.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................104
3.3. RLC-цепи с дугой при включении реактора последовательно с конденсатором..............................................................107
3.3.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и конденсатора...................................................................108
3.3.2. Качественный анализ.........................................................................109
3.3.3. Бифуркация Хопфа.............................................................................113
3.3.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................116
3.3.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................117
3.4. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с резистором..................................................................................................121
3.4.1. Уравнения RLC-цепей с дугой, включенной последовательно с резистором.......................................................................................121
3.4.2. Качественный анализ.........................................................................123
3.4.3. Отсутствие бифуркации Хопфа.........................................................126
Выводы...................................................................................................................127
Раздел 4. Свойства детерминированного хаоса в нелинейных цепях с электрической дугой........................................................................................128
4.1. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой и методики их построения...........................................................................128
4.1.1. Методики построения бифуркационных диаграмм RLC-цепи с дугой..............................................................................129
4.1.2. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой.............................131
4.1.3. Классификация структур бифуркационных диаграмм...................139
4.1.4. Структура со свойствами мягкости и обратимости.........................141
4.1.5. Структура со свойствами жесткости и необратимости...................141
4.1.6. Структура со свойствами жесткости и обратимости.......................142
4.1.7. Изолированные области бифуркационных диаграмм.....................143
4.1.8. Модификация структур......................................................................143
4.1.9. Элементарные структуры на бифуркационных диаграммах RLC-цепи с дугой..............................................................................144
4.2. Складчатая структура периодических решений RLC-цепей с дугой........149
4.2.1. Складчатая структура периодических решений однократного периода.......................................................................149
4.2.2. Складчатая структура периодических решений кратных периодов..............................................................................150
4.2.3. Взаимодействие складчатых структур однократного и двукратного периодов....................................................................153
4.3. Основные свойства характеристических линий бифуркационных диаграмм.........................................................................155
4.3.1. Сравнение бифуркационных диаграмм............................................156
4.3.2. Характеристические линии................................................................158
4.3.3. Закономерности суперциклов............................................................163
4.3.4. Окна периодичности..........................................................................164
4.3.5. Узлы линий отображения экстремума..............................................165
4.3.6. Закономерности обратных бифуркаций удвоения периода............167
4.3.7. Кризисы и бифуркационные диаграммы..........................................168
4.4. Детерминированный хаос в ключевых электрических цепях...................169
4.4.1. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется противо-ЭДС........170
4.4.2. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется резистором...........174
4.5. Разностное уравнение для нелинейной цепи с электрической дугой..................................................................................178
4.5.1. Сравнительный анализ бифуркационных диаграмм.......................178
4.5.2. Методика численного определения функции отображения...........179
4.5.3. Функции отображения для RLC-цепи с дугой.................................179
4.6. Критерии детерминированного хаоса..........................................................184
4.6.1. Критерий 1: чрезвычайная чувствительность к начальным условиям......................................................................184
4.6.2. Критерий 2: сплошной шумоподобный частотный спектр............186
4.6.3. Критерий 3: положительность показателя Ляпунова......................187
4.6.4. Критерий 4: подкова Смейла.............................................................188
Выводы...................................................................................................................189
Раздел 5. Математические методы и методики для исследования электрических цепей с дугой............................................................................191
5.1. Проблема собственных значений.................................................................191
5.1.1. Методика построения зависимости собственных значений от параметров без нахождения корней полинома..........................192
5.1.2. Методика нахождения условия чисто мнимых собственных значений......................................................................194
5.1.3. Методика нахождения условия кратности собственных значений......................................................................200
5.2. Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой..................................................................................206
5.2.1. Бифуркация Хопфа: общие положения.............................................206
5.2.2. Модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке).................................................................................209
5.2.3. Дифференцирование собственного значения по параметру...........210
5.3. Метод многократной стрельбы для исследования бифуркаций динамических систем.............................................................211
5.3.1. Постановка задачи для метода стрельбы..........................................211
5.3.2. Метод многократной стрельбы и его модификация........................215
5.4. Интервальная размерность точечных множеств сечений Пуанкаре.........................................................................................219
5.4.1. Определение интервальной размерности.........................................219
5.4.2. Аналитические методы расчета интервальной размерности точечных множеств...........................................................................222
5.4.3. Интервальная размерность сечения Пуанкаре странного аттрактора RLC-цепи с дугой...........................................................222 Выводы...................................................................................................................223 Приложение А. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RC-цепи с дугой................................................................................................225
Приложение Б. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RLC-цепи с дугой.............................................................................................228
Приложение В. Тестирование интервальной размерности точечных множеств сечений Пуанкаре...........................................................232
Приложение Г. Галерея бифуркационных диаграмм
RLC-цепи с дугой................................................................................................242
Заключение...........................................................................................................263
Список литературы............................................................................................264
Раздел 1. Моделирование динамики электрической дуги...............................9
1.1. Обобщенная модель динамической электрической дуги.............................10
1.2. Сравнительный анализ моделей динамической электрической дуги.........13
1.3. Общие свойства статических и динамических ВАХ электрической дуги.......16
Выводы.....................................................................................................................20
Раздел 2. Автоколебания в нелинейных цепях с электрической дугой......21
2.1. RC-цепи с электрической дугой.....................................................................21
2.1.1. Уравнения RC-цепей с электрической дугой.....................................22
2.1.2. Качественный анализ...........................................................................23
2.1.3. Бифуркация Хопфа в RC-цепи с дугой...............................................27
2.1.4. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........29
2.2. Электрические цепи с дугой и обратными связями.....................................32
2.2.1. Цепь с электрической дугой и обратной связью по напряжению....32
2.2.2. Цепь с электрической дугой и обратной связью по току..................34
2.3. RLC-цепь с безынерционной электрической дугой......................................36
2.3.1. Уравнения RLC-цепи с безынерционной электрической дугой.......36
2.3.2. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа и численный анализ предельных циклов.................................................................38
Выводы.....................................................................................................................39
Раздел 3. Периодические и хаотические колебания в нелинейных цепях с электрической дугой..........................................................................................41
3.1. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором...................41
3.1.1. Уравнения RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором.......................................42
3.1.2. Качественный анализ...........................................................................43
3.1.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................67
3.1.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа............................................72
3.1.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........75
3.2. RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора......................................................................................80
3.2.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора...........................................................................80
3.2.2. Качественный анализ...........................................................................81
3.2.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................99
3.2.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................102
3.2.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................104
3.3. RLC-цепи с дугой при включении реактора последовательно с конденсатором..............................................................107
3.3.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и конденсатора...................................................................108
3.3.2. Качественный анализ.........................................................................109
3.3.3. Бифуркация Хопфа.............................................................................113
3.3.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................116
3.3.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................117
3.4. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с резистором..................................................................................................121
3.4.1. Уравнения RLC-цепей с дугой, включенной последовательно с резистором.......................................................................................121
3.4.2. Качественный анализ.........................................................................123
3.4.3. Отсутствие бифуркации Хопфа.........................................................126
Выводы...................................................................................................................127
Раздел 4. Свойства детерминированного хаоса в нелинейных цепях с электрической дугой........................................................................................128
4.1. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой и методики их построения...........................................................................128
4.1.1. Методики построения бифуркационных диаграмм RLC-цепи с дугой..............................................................................129
4.1.2. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой.............................131
4.1.3. Классификация структур бифуркационных диаграмм...................139
4.1.4. Структура со свойствами мягкости и обратимости.........................141
4.1.5. Структура со свойствами жесткости и необратимости...................141
4.1.6. Структура со свойствами жесткости и обратимости.......................142
4.1.7. Изолированные области бифуркационных диаграмм.....................143
4.1.8. Модификация структур......................................................................143
4.1.9. Элементарные структуры на бифуркационных диаграммах RLC-цепи с дугой..............................................................................144
4.2. Складчатая структура периодических решений RLC-цепей с дугой........149
4.2.1. Складчатая структура периодических решений однократного периода.......................................................................149
4.2.2. Складчатая структура периодических решений кратных периодов..............................................................................150
4.2.3. Взаимодействие складчатых структур однократного и двукратного периодов....................................................................153
4.3. Основные свойства характеристических линий бифуркационных диаграмм.........................................................................155
4.3.1. Сравнение бифуркационных диаграмм............................................156
4.3.2. Характеристические линии................................................................158
4.3.3. Закономерности суперциклов............................................................163
4.3.4. Окна периодичности..........................................................................164
4.3.5. Узлы линий отображения экстремума..............................................165
4.3.6. Закономерности обратных бифуркаций удвоения периода............167
4.3.7. Кризисы и бифуркационные диаграммы..........................................168
4.4. Детерминированный хаос в ключевых электрических цепях...................169
4.4.1. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется противо-ЭДС........170
4.4.2. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется резистором...........174
4.5. Разностное уравнение для нелинейной цепи с электрической дугой..................................................................................178
4.5.1. Сравнительный анализ бифуркационных диаграмм.......................178
4.5.2. Методика численного определения функции отображения...........179
4.5.3. Функции отображения для RLC-цепи с дугой.................................179
4.6. Критерии детерминированного хаоса..........................................................184
4.6.1. Критерий 1: чрезвычайная чувствительность к начальным условиям......................................................................184
4.6.2. Критерий 2: сплошной шумоподобный частотный спектр............186
4.6.3. Критерий 3: положительность показателя Ляпунова......................187
4.6.4. Критерий 4: подкова Смейла.............................................................188
Выводы...................................................................................................................189
Раздел 5. Математические методы и методики для исследования электрических цепей с дугой............................................................................191
5.1. Проблема собственных значений.................................................................191
5.1.1. Методика построения зависимости собственных значений от параметров без нахождения корней полинома..........................192
5.1.2. Методика нахождения условия чисто мнимых собственных значений......................................................................194
5.1.3. Методика нахождения условия кратности собственных значений......................................................................200
5.2. Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой..................................................................................206
5.2.1. Бифуркация Хопфа: общие положения.............................................206
5.2.2. Модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке).................................................................................209
5.2.3. Дифференцирование собственного значения по параметру...........210
5.3. Метод многократной стрельбы для исследования бифуркаций динамических систем.............................................................211
5.3.1. Постановка задачи для метода стрельбы..........................................211
5.3.2. Метод многократной стрельбы и его модификация........................215
5.4. Интервальная размерность точечных множеств сечений Пуанкаре.........................................................................................219
5.4.1. Определение интервальной размерности.........................................219
5.4.2. Аналитические методы расчета интервальной размерности точечных множеств...........................................................................222
5.4.3. Интервальная размерность сечения Пуанкаре странного аттрактора RLC-цепи с дугой...........................................................222 Выводы...................................................................................................................223 Приложение А. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RC-цепи с дугой................................................................................................225
Приложение Б. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RLC-цепи с дугой.............................................................................................228
Приложение В. Тестирование интервальной размерности точечных множеств сечений Пуанкаре...........................................................232
Приложение Г. Галерея бифуркационных диаграмм
RLC-цепи с дугой................................................................................................242
Заключение...........................................................................................................263
Список литературы............................................................................................264
Введение
Электрическая дуга является многофункциональным инструментом различных промышленных технологических процессов. Среди них и классические технологические процессы электродуговой сварки и выплавки стали, и новейшие, основы которых только закладываются, например, гибридная лазерно-дуговая сварка. Это обуславливает актуальность исследований как самой электрической дуги, так и электрических цепей, в которые она входит. Особое внимание заслуживает устойчивость системы «электрическая дуга–источник питания», поскольку от нее зависит стабильность технологического процесса и качество изделий. Таким образом, исследование электрических цепей с дугой является важной научно-технической проблемой теоретической электротехники.Первый электрический генератор автоколебаний, изобретенный У. Дудделом (William DuBois Duddell), был дуговым. Электрическая дуга в его составе даже получила собственное название «Singing Arc» (1899), т.к. частота колебаний находилась в звуковом диапазоне. Уже тогда исследователи пытались качественно объяснить этот эффект нелинейностью вольтамперной характеристики дуги. В. Поульсен (Valdemar Poulsen) смог увеличить частоту колебаний до радиодиапазона и в 1902 году запатентовал дуговой радиопередатчик (Poulsen arc radio transmitter) – первый передатчик, который мог генерировать непрерывные колебания. Дуговой радиопередатчик Поульсена широко использовался во всем мире вплоть до двадцатых годов. Теоретические исследования А.А. Андронова дали понимание проблемы, но отсутствие в то время мощных математических методов для исследования нелинейных динамических систем, в том числе и численных, не позволили ответить на все вопросы. К сожалению, в связи со сворачиванием производства дуговых генераторов при появлении и стремительном развитии ламповых, проблема осталась нерешенной.
Исследования сварочной дуги показали, что колебательные и импульсные режимы работы дают значительные технологические преимущества. Интерес к колебаниям тока в электрических цепях с дугой возродился. Получение колебательных режимов с помощью самой электрической дуги без применения силовых электронных ключей открывает большие перспективы. Надеемся, что эта монография станет научной основой новых дуговых технологий.
За последние несколько десятилетий были достигнуты значительные успехи и получены фундаментальные знания, которые связаны с детерминированным хаосом. Это явление наблюдается только в нелинейных динамических системах независимо от их происхождения: механического, гидродинамического, физического, химического, биологического, экологического, экономического. Среди электротехнических и радиотехнических нелинейных цепей, где был выявлен детерминированный хаос, необходимо отметить электрические цепи с туннельным диодом, которые детально изучались учеными школы А.А. Андронова, генератор с инерционной обратной связью, исследованный В.С. Анищенко, цепи Чуа, неавтономные цепи с варикапным диодом, схемы ключевых преобразователей, которые были предметом исследования В.Я. Жуйкова и И.Е. Коротеева. Электрические цепи с дугой в этом направлении не исследовались, хотя нелинейность и инерционность – это те свойства электрической дуги, которыми обладают упомянутые выше электрические цепи.
Моделирование электрических цепей – один из эффективных и результативных способов исследования. Тем более, что с помощью моделирования нелинейных динамических систем получены основополагающие результаты в области детерминированного хаоса. Авторами в свое время была разработана обобщенная математическая модель динамической дуги, которая учитывает как нелинейность вольтамперной характеристики электрической дуги, так и тепловую инерционность, связанную с процессами нагрева, диссоциации и ионизации плазмы разряда. Исследования нелинейных электрических цепей требуют разработки специальных аналитических и численных методов. Тем более, что получаемые с их помощью результаты имеют междисциплинарный характер и могут быть использованы при исследовании динамических систем иной природы.
В этой монографии изложены результаты исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей, описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития, а также математические методы исследования нелинейных динамических систем. Сделана попытка продемонстрировать, что такие абстрактные математические понятия, как странный аттрактор, бифуркация, фрактал, могут найти конкретное приложение в задачах теоретической электротехники.
Выражаем благодарность академику НАН Украины И. В. Кривцуну за поддержку этих исследований и канд. физ.-мат. наук А.Т. Зельниченко за помощь в издании этой монографии.
Купить книгу:
Сидорец В. Н., Пентегов И. В.Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой. –
Киев: Международная ассоциация «Сварка», 2013. – 272 с.
Стоимость книги: 240 UAH,25 $,22 €.
заполните форму:
Пропонуємо оформити передплату на видання ІЕЗ ім. Є.О. Патона на 2025 рік.
2023.12.15 Збірка тез доповідей конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій»
2023.11.28 Он-лайн трансляція конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій» на youtube каналі ІЕЗ
2023.11.24 Доступні для завантаження пдф-файли статей за 2022 рік!
2023.01.21
Збірка тез доповідей конференції «Зварювання та технічна діагностика для відновлення економіки України»
2022.11.12
НОВІ КНИГИ
2021.08.15
Програма конференції «Променеві технології в зварюванні і обробці матеріалів»
2021.08.07 Збірник праць Х Міжнародної конференціі Математичне моделювання та інформаційні технології в зварюванні та споріднених процесах
2021.05.14 Програма конференції «Сучасні технології з’єднання матеріалів»
2016.08.06 Новая книга: Pogrebisky D.Welding of Metals: Classification, Brief History, Development
Офиційна сторінка на
2023.12.15 Збірка тез доповідей конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій»
2023.11.28 Он-лайн трансляція конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій» на youtube каналі ІЕЗ
2023.11.24 Доступні для завантаження пдф-файли статей за 2022 рік!
2023.01.21
Збірка тез доповідей конференції «Зварювання та технічна діагностика для відновлення економіки України»
2022.11.12
НОВІ КНИГИ
2021.08.15
Програма конференції «Променеві технології в зварюванні і обробці матеріалів»
2021.08.07 Збірник праць Х Міжнародної конференціі Математичне моделювання та інформаційні технології в зварюванні та споріднених процесах
2021.05.14 Програма конференції «Сучасні технології з’єднання матеріалів»
2016.08.06 Новая книга: Pogrebisky D.Welding of Metals: Classification, Brief History, Development
Найсвіжіші номери журналів на сайті
Автоматическая сварка №5 (2024), The Paton Welding Journal №10 (2024), Техническая диагностика и неразрушающий контроль №3 (2024), Современная электрометаллургия №3 (2024).Офиційна сторінка на
