Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой
Сидорец В. Н., Пентегов И. В.
Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой. –
Киев: Международная ассоциация «Сварка», 2013. – 272 с.
Твердый переплет, 165x235 мм.
Монография посвящена изложению результатов исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей. Описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития. Особое внимание уделено оригинальным математическим методам исследования нелинейных динамических систем. Все полученные результаты проиллюстрированны.
Монография рассчитана на широкий круг специалистов в областях теоретической электротехники и нелинейных динамических систем. Она может быть полезна ученым, аспирантам и студентам.
ISBN 978-966-96309-0-2
Содержание
( Нажмите, чтобы просмотреть/скрыть содержание)
Введение....................................................................................................................7
Раздел 1. Моделирование динамики электрической дуги...............................9
1.1. Обобщенная модель динамической электрической дуги.............................10
1.2. Сравнительный анализ моделей динамической электрической дуги.........13
1.3. Общие свойства статических и динамических ВАХ электрической дуги.......16
Выводы.....................................................................................................................20
Раздел 2. Автоколебания в нелинейных цепях с электрической дугой......21
2.1. RC-цепи с электрической дугой.....................................................................21
2.1.1. Уравнения RC-цепей с электрической дугой.....................................22
2.1.2. Качественный анализ...........................................................................23
2.1.3. Бифуркация Хопфа в RC-цепи с дугой...............................................27
2.1.4. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........29
2.2. Электрические цепи с дугой и обратными связями.....................................32
2.2.1. Цепь с электрической дугой и обратной связью по напряжению....32
2.2.2. Цепь с электрической дугой и обратной связью по току..................34
2.3. RLC-цепь с безынерционной электрической дугой......................................36
2.3.1. Уравнения RLC-цепи с безынерционной электрической дугой.......36
2.3.2. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа и численный анализ предельных циклов.................................................................38
Выводы.....................................................................................................................39
Раздел 3. Периодические и хаотические колебания в нелинейных цепях с электрической дугой..........................................................................................41
3.1. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором...................41
3.1.1. Уравнения RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором.......................................42
3.1.2. Качественный анализ...........................................................................43
3.1.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................67
3.1.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа............................................72
3.1.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........75
3.2. RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора......................................................................................80
3.2.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора...........................................................................80
3.2.2. Качественный анализ...........................................................................81
3.2.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................99
3.2.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................102
3.2.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................104
3.3. RLC-цепи с дугой при включении реактора последовательно с конденсатором..............................................................107
3.3.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и конденсатора...................................................................108
3.3.2. Качественный анализ.........................................................................109
3.3.3. Бифуркация Хопфа.............................................................................113
3.3.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................116
3.3.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................117
3.4. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с резистором..................................................................................................121
3.4.1. Уравнения RLC-цепей с дугой, включенной последовательно с резистором.......................................................................................121
3.4.2. Качественный анализ.........................................................................123
3.4.3. Отсутствие бифуркации Хопфа.........................................................126
Выводы...................................................................................................................127
Раздел 4. Свойства детерминированного хаоса в нелинейных цепях с электрической дугой........................................................................................128
4.1. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой и методики их построения...........................................................................128
4.1.1. Методики построения бифуркационных диаграмм RLC-цепи с дугой..............................................................................129
4.1.2. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой.............................131
4.1.3. Классификация структур бифуркационных диаграмм...................139
4.1.4. Структура со свойствами мягкости и обратимости.........................141
4.1.5. Структура со свойствами жесткости и необратимости...................141
4.1.6. Структура со свойствами жесткости и обратимости.......................142
4.1.7. Изолированные области бифуркационных диаграмм.....................143
4.1.8. Модификация структур......................................................................143
4.1.9. Элементарные структуры на бифуркационных диаграммах RLC-цепи с дугой..............................................................................144
4.2. Складчатая структура периодических решений RLC-цепей с дугой........149
4.2.1. Складчатая структура периодических решений однократного периода.......................................................................149
4.2.2. Складчатая структура периодических решений кратных периодов..............................................................................150
4.2.3. Взаимодействие складчатых структур однократного и двукратного периодов....................................................................153
4.3. Основные свойства характеристических линий бифуркационных диаграмм.........................................................................155
4.3.1. Сравнение бифуркационных диаграмм............................................156
4.3.2. Характеристические линии................................................................158
4.3.3. Закономерности суперциклов............................................................163
4.3.4. Окна периодичности..........................................................................164
4.3.5. Узлы линий отображения экстремума..............................................165
4.3.6. Закономерности обратных бифуркаций удвоения периода............167
4.3.7. Кризисы и бифуркационные диаграммы..........................................168
4.4. Детерминированный хаос в ключевых электрических цепях...................169
4.4.1. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется противо-ЭДС........170
4.4.2. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется резистором...........174
4.5. Разностное уравнение для нелинейной цепи с электрической дугой..................................................................................178
4.5.1. Сравнительный анализ бифуркационных диаграмм.......................178
4.5.2. Методика численного определения функции отображения...........179
4.5.3. Функции отображения для RLC-цепи с дугой.................................179
4.6. Критерии детерминированного хаоса..........................................................184
4.6.1. Критерий 1: чрезвычайная чувствительность к начальным условиям......................................................................184
4.6.2. Критерий 2: сплошной шумоподобный частотный спектр............186
4.6.3. Критерий 3: положительность показателя Ляпунова......................187
4.6.4. Критерий 4: подкова Смейла.............................................................188
Выводы...................................................................................................................189
Раздел 5. Математические методы и методики для исследования электрических цепей с дугой............................................................................191
5.1. Проблема собственных значений.................................................................191
5.1.1. Методика построения зависимости собственных значений от параметров без нахождения корней полинома..........................192
5.1.2. Методика нахождения условия чисто мнимых собственных значений......................................................................194
5.1.3. Методика нахождения условия кратности собственных значений......................................................................200
5.2. Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой..................................................................................206
5.2.1. Бифуркация Хопфа: общие положения.............................................206
5.2.2. Модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке).................................................................................209
5.2.3. Дифференцирование собственного значения по параметру...........210
5.3. Метод многократной стрельбы для исследования бифуркаций динамических систем.............................................................211
5.3.1. Постановка задачи для метода стрельбы..........................................211
5.3.2. Метод многократной стрельбы и его модификация........................215
5.4. Интервальная размерность точечных множеств сечений Пуанкаре.........................................................................................219
5.4.1. Определение интервальной размерности.........................................219
5.4.2. Аналитические методы расчета интервальной размерности точечных множеств...........................................................................222
5.4.3. Интервальная размерность сечения Пуанкаре странного аттрактора RLC-цепи с дугой...........................................................222 Выводы...................................................................................................................223 Приложение А. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RC-цепи с дугой................................................................................................225
Приложение Б. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RLC-цепи с дугой.............................................................................................228
Приложение В. Тестирование интервальной размерности точечных множеств сечений Пуанкаре...........................................................232
Приложение Г. Галерея бифуркационных диаграмм
RLC-цепи с дугой................................................................................................242
Заключение...........................................................................................................263
Список литературы............................................................................................264
Раздел 1. Моделирование динамики электрической дуги...............................9
1.1. Обобщенная модель динамической электрической дуги.............................10
1.2. Сравнительный анализ моделей динамической электрической дуги.........13
1.3. Общие свойства статических и динамических ВАХ электрической дуги.......16
Выводы.....................................................................................................................20
Раздел 2. Автоколебания в нелинейных цепях с электрической дугой......21
2.1. RC-цепи с электрической дугой.....................................................................21
2.1.1. Уравнения RC-цепей с электрической дугой.....................................22
2.1.2. Качественный анализ...........................................................................23
2.1.3. Бифуркация Хопфа в RC-цепи с дугой...............................................27
2.1.4. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........29
2.2. Электрические цепи с дугой и обратными связями.....................................32
2.2.1. Цепь с электрической дугой и обратной связью по напряжению....32
2.2.2. Цепь с электрической дугой и обратной связью по току..................34
2.3. RLC-цепь с безынерционной электрической дугой......................................36
2.3.1. Уравнения RLC-цепи с безынерционной электрической дугой.......36
2.3.2. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа и численный анализ предельных циклов.................................................................38
Выводы.....................................................................................................................39
Раздел 3. Периодические и хаотические колебания в нелинейных цепях с электрической дугой..........................................................................................41
3.1. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором...................41
3.1.1. Уравнения RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с реактором.......................................42
3.1.2. Качественный анализ...........................................................................43
3.1.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................67
3.1.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа............................................72
3.1.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов.........75
3.2. RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора......................................................................................80
3.2.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и резистора...........................................................................80
3.2.2. Качественный анализ...........................................................................81
3.2.3. Бифуркация Хопфа...............................................................................99
3.2.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................102
3.2.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................104
3.3. RLC-цепи с дугой при включении реактора последовательно с конденсатором..............................................................107
3.3.1. Уравнения RLC-цепи с дугой при последовательном включении реактора и конденсатора...................................................................108
3.3.2. Качественный анализ.........................................................................109
3.3.3. Бифуркация Хопфа.............................................................................113
3.3.4. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа..........................................116
3.3.5. Численный анализ бифуркации Хопфа и предельных циклов........................................................................117
3.4. RLC-цепи с дугой, включенной последовательно с резистором..................................................................................................121
3.4.1. Уравнения RLC-цепей с дугой, включенной последовательно с резистором.......................................................................................121
3.4.2. Качественный анализ.........................................................................123
3.4.3. Отсутствие бифуркации Хопфа.........................................................126
Выводы...................................................................................................................127
Раздел 4. Свойства детерминированного хаоса в нелинейных цепях с электрической дугой........................................................................................128
4.1. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой и методики их построения...........................................................................128
4.1.1. Методики построения бифуркационных диаграмм RLC-цепи с дугой..............................................................................129
4.1.2. Бифуркационные диаграммы RLC-цепи с дугой.............................131
4.1.3. Классификация структур бифуркационных диаграмм...................139
4.1.4. Структура со свойствами мягкости и обратимости.........................141
4.1.5. Структура со свойствами жесткости и необратимости...................141
4.1.6. Структура со свойствами жесткости и обратимости.......................142
4.1.7. Изолированные области бифуркационных диаграмм.....................143
4.1.8. Модификация структур......................................................................143
4.1.9. Элементарные структуры на бифуркационных диаграммах RLC-цепи с дугой..............................................................................144
4.2. Складчатая структура периодических решений RLC-цепей с дугой........149
4.2.1. Складчатая структура периодических решений однократного периода.......................................................................149
4.2.2. Складчатая структура периодических решений кратных периодов..............................................................................150
4.2.3. Взаимодействие складчатых структур однократного и двукратного периодов....................................................................153
4.3. Основные свойства характеристических линий бифуркационных диаграмм.........................................................................155
4.3.1. Сравнение бифуркационных диаграмм............................................156
4.3.2. Характеристические линии................................................................158
4.3.3. Закономерности суперциклов............................................................163
4.3.4. Окна периодичности..........................................................................164
4.3.5. Узлы линий отображения экстремума..............................................165
4.3.6. Закономерности обратных бифуркаций удвоения периода............167
4.3.7. Кризисы и бифуркационные диаграммы..........................................168
4.4. Детерминированный хаос в ключевых электрических цепях...................169
4.4.1. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется противо-ЭДС........170
4.4.2. Ключевая цепь с дугой, которая моделируется резистором...........174
4.5. Разностное уравнение для нелинейной цепи с электрической дугой..................................................................................178
4.5.1. Сравнительный анализ бифуркационных диаграмм.......................178
4.5.2. Методика численного определения функции отображения...........179
4.5.3. Функции отображения для RLC-цепи с дугой.................................179
4.6. Критерии детерминированного хаоса..........................................................184
4.6.1. Критерий 1: чрезвычайная чувствительность к начальным условиям......................................................................184
4.6.2. Критерий 2: сплошной шумоподобный частотный спектр............186
4.6.3. Критерий 3: положительность показателя Ляпунова......................187
4.6.4. Критерий 4: подкова Смейла.............................................................188
Выводы...................................................................................................................189
Раздел 5. Математические методы и методики для исследования электрических цепей с дугой............................................................................191
5.1. Проблема собственных значений.................................................................191
5.1.1. Методика построения зависимости собственных значений от параметров без нахождения корней полинома..........................192
5.1.2. Методика нахождения условия чисто мнимых собственных значений......................................................................194
5.1.3. Методика нахождения условия кратности собственных значений......................................................................200
5.2. Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой..................................................................................206
5.2.1. Бифуркация Хопфа: общие положения.............................................206
5.2.2. Модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке).................................................................................209
5.2.3. Дифференцирование собственного значения по параметру...........210
5.3. Метод многократной стрельбы для исследования бифуркаций динамических систем.............................................................211
5.3.1. Постановка задачи для метода стрельбы..........................................211
5.3.2. Метод многократной стрельбы и его модификация........................215
5.4. Интервальная размерность точечных множеств сечений Пуанкаре.........................................................................................219
5.4.1. Определение интервальной размерности.........................................219
5.4.2. Аналитические методы расчета интервальной размерности точечных множеств...........................................................................222
5.4.3. Интервальная размерность сечения Пуанкаре странного аттрактора RLC-цепи с дугой...........................................................222 Выводы...................................................................................................................223 Приложение А. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RC-цепи с дугой................................................................................................225
Приложение Б. Нелинейный анализ бифуркации Хопфа в RLC-цепи с дугой.............................................................................................228
Приложение В. Тестирование интервальной размерности точечных множеств сечений Пуанкаре...........................................................232
Приложение Г. Галерея бифуркационных диаграмм
RLC-цепи с дугой................................................................................................242
Заключение...........................................................................................................263
Список литературы............................................................................................264
Введение
Электрическая дуга является многофункциональным инструментом различных промышленных технологических процессов. Среди них и классические технологические процессы электродуговой сварки и выплавки стали, и новейшие, основы которых только закладываются, например, гибридная лазерно-дуговая сварка. Это обуславливает актуальность исследований как самой электрической дуги, так и электрических цепей, в которые она входит. Особое внимание заслуживает устойчивость системы «электрическая дуга–источник питания», поскольку от нее зависит стабильность технологического процесса и качество изделий. Таким образом, исследование электрических цепей с дугой является важной научно-технической проблемой теоретической электротехники.Первый электрический генератор автоколебаний, изобретенный У. Дудделом (William DuBois Duddell), был дуговым. Электрическая дуга в его составе даже получила собственное название «Singing Arc» (1899), т.к. частота колебаний находилась в звуковом диапазоне. Уже тогда исследователи пытались качественно объяснить этот эффект нелинейностью вольтамперной характеристики дуги. В. Поульсен (Valdemar Poulsen) смог увеличить частоту колебаний до радиодиапазона и в 1902 году запатентовал дуговой радиопередатчик (Poulsen arc radio transmitter) – первый передатчик, который мог генерировать непрерывные колебания. Дуговой радиопередатчик Поульсена широко использовался во всем мире вплоть до двадцатых годов. Теоретические исследования А.А. Андронова дали понимание проблемы, но отсутствие в то время мощных математических методов для исследования нелинейных динамических систем, в том числе и численных, не позволили ответить на все вопросы. К сожалению, в связи со сворачиванием производства дуговых генераторов при появлении и стремительном развитии ламповых, проблема осталась нерешенной.
Исследования сварочной дуги показали, что колебательные и импульсные режимы работы дают значительные технологические преимущества. Интерес к колебаниям тока в электрических цепях с дугой возродился. Получение колебательных режимов с помощью самой электрической дуги без применения силовых электронных ключей открывает большие перспективы. Надеемся, что эта монография станет научной основой новых дуговых технологий.
За последние несколько десятилетий были достигнуты значительные успехи и получены фундаментальные знания, которые связаны с детерминированным хаосом. Это явление наблюдается только в нелинейных динамических системах независимо от их происхождения: механического, гидродинамического, физического, химического, биологического, экологического, экономического. Среди электротехнических и радиотехнических нелинейных цепей, где был выявлен детерминированный хаос, необходимо отметить электрические цепи с туннельным диодом, которые детально изучались учеными школы А.А. Андронова, генератор с инерционной обратной связью, исследованный В.С. Анищенко, цепи Чуа, неавтономные цепи с варикапным диодом, схемы ключевых преобразователей, которые были предметом исследования В.Я. Жуйкова и И.Е. Коротеева. Электрические цепи с дугой в этом направлении не исследовались, хотя нелинейность и инерционность – это те свойства электрической дуги, которыми обладают упомянутые выше электрические цепи.
Моделирование электрических цепей – один из эффективных и результативных способов исследования. Тем более, что с помощью моделирования нелинейных динамических систем получены основополагающие результаты в области детерминированного хаоса. Авторами в свое время была разработана обобщенная математическая модель динамической дуги, которая учитывает как нелинейность вольтамперной характеристики электрической дуги, так и тепловую инерционность, связанную с процессами нагрева, диссоциации и ионизации плазмы разряда. Исследования нелинейных электрических цепей требуют разработки специальных аналитических и численных методов. Тем более, что получаемые с их помощью результаты имеют междисциплинарный характер и могут быть использованы при исследовании динамических систем иной природы.
В этой монографии изложены результаты исследования фундаментальных свойств электрической дуги как нелинейного элемента электрических цепей, описаны выявленные закономерности и механизмы возникновения детерминированного хаоса в этих цепях и сценарии его развития, а также математические методы исследования нелинейных динамических систем. Сделана попытка продемонстрировать, что такие абстрактные математические понятия, как странный аттрактор, бифуркация, фрактал, могут найти конкретное приложение в задачах теоретической электротехники.
Выражаем благодарность академику НАН Украины И. В. Кривцуну за поддержку этих исследований и канд. физ.-мат. наук А.Т. Зельниченко за помощь в издании этой монографии.
Купить книгу:
Сидорец В. Н., Пентегов И. В.Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической дугой. –
Киев: Международная ассоциация «Сварка», 2013. – 272 с.
Вартість книги: 240 UAH,25 $,22 €.
заповніть форму:
2024.12.19
Доступні для завантаження пдф-файли статей за 2023 рік!
Пропонуємо оформити передплату на видання ІЕЗ ім. Є.О. Патона на 2025 рік.
2023.12.15 Збірка тез доповідей конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій»
2023.11.28 Он-лайн трансляція конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій» на youtube каналі ІЕЗ
2023.01.21
Збірка тез доповідей конференції «Зварювання та технічна діагностика для відновлення економіки України»
2022.11.12
НОВІ КНИГИ
2021.08.15
Програма конференції «Променеві технології в зварюванні і обробці матеріалів»
2021.08.07 Збірник праць Х Міжнародної конференціі Математичне моделювання та інформаційні технології в зварюванні та споріднених процесах
2021.05.14 Програма конференції «Сучасні технології з’єднання матеріалів»
2016.08.06 Новая книга: Pogrebisky D.Welding of Metals: Classification, Brief History, Development
Офиційна сторінка на
Пропонуємо оформити передплату на видання ІЕЗ ім. Є.О. Патона на 2025 рік.
2023.12.15 Збірка тез доповідей конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій»
2023.11.28 Он-лайн трансляція конференції «Сучасні напрями розвитку адитивних технологій» на youtube каналі ІЕЗ
2023.01.21
Збірка тез доповідей конференції «Зварювання та технічна діагностика для відновлення економіки України»
2022.11.12
НОВІ КНИГИ
2021.08.15
Програма конференції «Променеві технології в зварюванні і обробці матеріалів»
2021.08.07 Збірник праць Х Міжнародної конференціі Математичне моделювання та інформаційні технології в зварюванні та споріднених процесах
2021.05.14 Програма конференції «Сучасні технології з’єднання матеріалів»
2016.08.06 Новая книга: Pogrebisky D.Welding of Metals: Classification, Brief History, Development
Найсвіжіші номери журналів на сайті
Автоматичне зварювання №5 (2024), The Paton Welding Journal №11 (2024), Технічна діагностика та неруйнівний контроль №3 (2024), Сучасна електрометалургія №3 (2024).Офиційна сторінка на
